两个随机整数的差的绝对值的数学期望值
题目
取 0 到 100（含）之间的两个随机整数，求出它们的差的绝对值，请问这个值的数学期望值是多少？（可以模拟1000次，得到其平均值，当成其数学期望的近似值）。
思路
题目要求我们模拟 1000 次。因此，我们需要进行 1000 次循环。
随机整数
在每一个循环里，我们需要生成两个随机整数。
生成随机整数的方法是 random.randint(x,y) ，其中 $x$ 和 $y$ 表示随机整数的范围 $[x,y]$ ，要注意的是 $x$ 和 $y$ 是包括在取值范围内的。在这个题目里，我们会用 random.randint(0,100) 来取 0 到 100 之间的随机整数。
接着，我们对两个随机整数取差后，取绝对值。
绝对值的定义如下：
$$
\left | x \right | =
\begin{cases}
\hfill x & \text{if $x\geq 0$}\
-x & \text{if $x<0$}
\end{cases}
$$
当差大于等于零时，不需要理会。当差小于零时，需要将差乘以 $-1$ 。翻译为 Python 就是：
if difference < 0:
difference = difference * (-1)平均值
可以模拟 1000 次，得到其平均值，当成其数学期望的近似值
题目希望我们得到他的平均值。平均值是这样算的：
$$
平均值 = \frac {总和}{项数} = \frac {累计每一次差的绝对值}{ 1000次} = \frac {列表总和}{列表长度}
$$
方法 1：s+=
每一个循环里，我们都将这个差 difference 累计起来，存到总和 total 里。
total += difference最后我们把 total 除以项数即可得到平均值。
print(total/sim_rounds)方法 2：存到列表
我们将每次循环得到的 difference 放入列表 diff_list 中。
diff_list.append(difference)最后求平均值 sum() / len() 。其中 sum() 会返回列表里每一个项相加的总和，len() 函数则会返回列表的长度，也就是我们的项数 1000 。
print(sum(diff_list)/len(diff_list))答案
这是使用 s+= 求和，然后得到平均值的方法：
import random
total = 0
sim_rounds = 1000
for x in range(0,sim_rounds):
num1 = random.randint(0,100)
num2 = random.randint(0,100)
difference = num1 - num2
# get absolute value
if difference < 0:
difference = difference * (-1)
# Add difference to total
total += difference
# get average
print(total/sim_rounds)我们也可以将得到的值放入列表中，最后求平均值 sum() / len() ：
import random
total = 0
sim_rounds = 1000
diff_list = []
for x in range(0,sim_rounds):
num1 = random.randint(0,100)
num2 = random.randint(0,100)
difference = num1 - num2
# get absolute value
if difference < 0:
difference = difference * (-1)
# Add difference to total
diff_list.append(difference)
# get average
print(sum(diff_list)/len(diff_list))0 到 1 之间的随机实数的平均值与标准差
题目
用循环得到 1000 个数：每个数是由 6 个随机实数 （0到1之间的）的平均值而得到的，将这个数 append() 到列表中。计算这 1000 个数的平均值及标准差。
思路
生成随机实数
题目要求我们模拟 1000 次。
我们需要进行 1000 次大循环，得到 1000 个数，每一个数都依赖于 6 个随机实数的平均。
每一次大循环里，进行 6 次的小循环。每一个小循环里，生成 1 个随机实数。最后在小循环结束后，得到 6 个随机实数的平均值。
因此，这个题目里我们会用到双层嵌套循环（double nested loop），结构如下：
flowchart TD
B{For 循环: 小于 1000 次吗 } -->|True| C{For 循环: 小于 6 次吗 }
C -->|True| D[生成一次随机实数] --> I[加到 average]
C -->|False| G([结束 For 循环]) --> H[average 除以 6 得到六个随机实数的平均] --> J[ append 到列表中] --> B
B ---->|False| E([结束 For 循环])要生成一个 0 到 1 之间的随机实数，我们要使用 random.random() 。
得到 6 个随机实数的平均值的方法，正是上一题里 s+= 的方法，只不过在这题里只需要把总和除以 6 就能得出平均值。
所以，这部分是这样写的：
for y in range(sim_rounds):
average = 0
for x in range(6):
num = random.random()
average += num
average /= 6
my_list.append(average)平均函数
接着我们需要一个计算平均的函数。
sum() 一个列表会返回列表里每一个项相加的总和；len() 一个列表则会返回列表的长度，也就是列表里元素的数量。
由于 $平均 = \frac {总和}{项数} = \frac {列表总和}{列表长度}$ ，只要 sum(列表)/len(列表) 就会得出平均值。
定义一个计算平均的函数：输入参数为列表 lst ，返回平均值。
def Average(lst):
return sum(lst) / len(lst)标准差函数
接着，我们需要一个计算标准差的函数。
先看下平均、方差和标准差的定义。
| 概念 | 公式 |
|---|---|
| 平均（Mean） $\mu$ | $\mu = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i$ |
| 方差（Variance）$\sigma^2$ | $\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2$ |
| 标准差（Standard Deviation）$\sigma$ | $\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}$ |
输入一个列表，我们要得到标准差了。定义一个标准差函数，平均函数刚才我们已经写过了，可以调用之前的平均函数。只需要把方差和标准差的数学语言翻译成 Python 编程语言：
def Standard_deviation(lst):
mean = Average(lst)
variance = sum([((x - mean) ** 2) for x in lst]) / len(lst)
res = variance ** 0.5
return res我们先计算平均，接着是方差，接着将方差取根号得到标准差。
值得留意的是 Python 中的幂函数表示法。在 Python 里，** 代表数学的幂函数。a ** b 会返回 $a$ 的 $b$ 次幂，即 $a^b$ 。
举些例子，当前 a 值为 4。
试下 a ** 2 ，也就是 $a^2$ ，会得到结果 16。
>>> print(a ** 2)
16试下 a ** 0.5 ，也就是 $a^{0.5} = \sqrt{a}$ ，会得到结果 2。
>>> print(a ** 0.5)
2.0答案
把思路里的三个部分结合起来，就能得出最终答案。
import random
my_list = []
sim_rounds = 1000
def Average(lst):
return sum(lst) / len(lst)
def Standard_deviation(lst):
mean = Average(lst)
variance = sum([((x - mean) ** 2) for x in lst]) / len(lst)
res = variance ** 0.5
return res
for y in range(sim_rounds):
average = 0
for x in range(6):
num = random.random()
average += num
average /= 6
my_list.append(average)
print("Average is: ", Average(my_list))
print("Standard Deviation is: ", Standard_deviation(my_list))阶乘与组合数
题目
組合数 $C(m,n)=\frac{m!}{n!(m-n)!}$。试编写阶乘的函数及组合数的函数，并调用求出 $C(6,4)$。
思路
组合数 $C(m,n) = {m \choose n}$ 的定义为：从 $m$ 个不同元素中取出 $n$ 个元素的所有不同组合的个数。
计算组合数，可以使用公式：
$$
C(m,n)=\frac{m!}{n!(m-n)!}
$$
由此公式可以得知，只要计算出阶乘，就能得到组合数。
阶乘函数
一个阶乘（Factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，计作 $n!$。特别地 $0!=1$。
$$
n! = (n-1)! \times n \ 1! = 0! \times 1 = 1
\
2! = 1! \times 2
\
3! = 2! \times 3
\
4! = 3! \times 4
$$
从这个规律我们能看出：只要从 $1!=1$ 开始，自增 1，然后再乘以自己，就能得到下一个阶乘，如此类推。
因此，我们只要写一个循环，做这个步骤就能算出阶乘。
def factorial(x):
fact = 1
for i in range(1,x+1):
fact = fact * i
return fact组合数函数
我们利用公式 $C(m,n)=\frac{m!}{n!(m-n)!}$ ，阶乘部分调用刚才写的阶乘函数即可。
def combination(m,n):
return factorial(m)/factorial(n)/factorial(m-n)答案
import random
m = int(input("Input your m: "))
n = int(input("Input your n: "))
# Calculate factorial
def factorial(x):
fact = 1
for i in range(1,x+1):
fact = fact * i
return fact
# Calculate combination
def combination(m,n):
return factorial(m)/factorial(n)/factorial(m-n)
print("{:.0f}".format(combination(m,n)))在代码的最后一行里，由于组合数函数里使用了除法，Python 默认结果为浮点数，e.g. 307.0 ，带有小数部分。
一个组合数应该是整数。因此，我们需要对输出结果进行格式控制。
print("{:.0f}".format(combination(m,n)))浮点数格式有很多用法：
| 数字 | 格式 | 输出 | 描述 |
|---|---|---|---|
| 3.1415926 | {:.2f} |
3.14 | 前两个小数位 |
| 3.1415926 | {:+.2f} |
+3.14 | 前两个小数位（带正负） |
| 2.71828 | {:.0f} |
3 | 无小数位 |
质数判断
题目
先定义一个函数判断一个数是否是质数，主程序将 2 到 100 以内的质数 append() 到一个列表中，并看看总共有多少个质数。
思路
质数（素数）的定义是：大于 1 的自然数中，除了 1 和该数自身外，无法被其他自然数整除的数。
判断是否整除的方法可以利用取模运算符 % 返回除法的余数。当 a % b 余数为 0 时，代表 $a$ 能够被 $b$ 整除，即 $b$ 是 $a$ 的因数。在这个情况中，如果 $b$ 不是 1 和 $a$ 自身，则 $a$ 不是质数。
所以，我们做一个 for 循环，从 2 开始。在每一次循环里，我们都通过取模来验证是否质数。
if (x % i) == 0:
return False循环的范围只需要从 $2$ 到 $n/2$ ，而不需要到 $n$ 。如果一个数能被 $[2,\frac{n}{2}]$ 内的数字整除，这个数就不是质数。
for i in range(2, int(x/2)+1):
# If num is divisible by any number between 2 and n / 2, it is not prime
if (x % i) == 0:
return False循环体本身的范围，是 int(n/2) + 1 。
int(n/2) 防止 $n$ 不被 2 整除而出现小数位的情况。
+1 加一保证第 int(n/2) 个数也会被测试到。一个 range() 函数是不包含最后一个数的。
for i in range(2, 5):
print(i) # 2, 3, 4比如，上面这段代码的输出是 2,3,4 ，不包含 5 。要遍历到最后一个数，需要加一 +1：
for i in range(2, 5+1):
print(i) # 2, 3, 4, 5答案
# Calculate factorial
def isPrime(x):
# Iterate from 2 to n / 2
for i in range(2, int(x/2)+1):
# If num is divisible by any number between 2 and n / 2, it is not prime
if (x % i) == 0:
return False
else:
return True
stop = 100
primeNumbers = []
for x in range(2,stop+1): # [2,100]
if isPrime(x):
primeNumbers.append(x)
print("List of prime numbers: ",primeNumbers)
print("Number of prime numbers: ",len(primeNumbers))