PID 控制算法简介

本文为《 PID – Helping Computers Behave More Like Humans 》的译文。

你可能不熟悉 Control Loop 的概念，但我保证你每天都会以某种方式使用它。Control Loop 是指任何使用反馈机制来控制某个动作的系统。

当你接住在空中飞行的棒球时，你的眼睛会提供反馈信息，告知你的大脑球在哪里，以及你需要如何移动你的手才能接住它。当你想在进去之前调整淋浴的温度时，你用手感觉到水，这给你的大脑提供了反馈，并决定你是否转动旋钮使水更热或更凉。这些都是 Control Loop 的例子。

TL;DR

从代码的角度就是这样：

error = setpoint - measured
P_value = Kp * error
D_value = Kd * (error - Derivator)
Derivator = error
Integrator = Integrator + error
I_value = Integrator * Ki
output = P_value + I_value + D_value

PID如何工作

为了描述PID算法如何工作，我将使用温度控制器的简单例子。在这个例子中，我们有一个系统，包括一个电炉，一壶水，一个温度传感器，和一个控制器。

控制器可以使用温度传感器读取水的温度，它可以将燃烧器的功率水平从0调整到100%。控制器中的软件负责调整燃烧器的功率水平，使锅里的水温尽快达到一个理想值（设定点），然后无限期地保持这个温度。控制器中可以使用PID算法来解决这个问题。

Proportional 比例

PID 算法的第一个组成部分是最简单的理解，也是对控制器的性能最关键的。P代表的是比例。它意味着控制变量应与系统中的误差量成比例地调整。一个只利用P部分的PID算法可以表示为。
$$
输出=误差 \times K_p
$$

我刚刚使用了几个听起来很陌生的术语，所以让我解释一下。

• 控制变量（输出）
  • 控制变量是我们要调整的控制器的输出。
  • 这个例子中，控制变量是烧水器的功率。
• 过程变量（测量值）
  • 过程变量是你试图控制的系统中的测量值。过程变量被用作控制器的反馈，以便它能决定如何调整控制变量。
  • 这个例子中，过程变量是水传感器返回的温度值。
• 误差（$设定值 - 测量值$）
  • 误差是过程变量和设定温度之间的差异。
  • 这个例子中，设定点是我们试图让水达到的某个温度。
  • 任何时间点的误差都是当前温度和目标温度之间的差异。

$$
输出=(设定值 - 测量值) \times K_p
$$

算法的 $P$ 部分通过按比例调整输出与误差来工作。

例子

温度控制器的设定温度是 100 度。

如果目前传感器测量的温度是 60 度，$误差 = 100 - 60 =40$ 。

控制器的输出将被设置为 $40 \times K_p$，其中 $K_p$ 是比例系数。

$K_p$ 是一个常数，非负值，将在控制器的调谐过程中确定（我们将在后面详细讨论调谐）。

现在我们假设 $K_p = 10$（凭空捏造）。那么系统的输出将是 $(100-60)\times 10=400$。

你可能会想：

「400？这比燃烧器的 0 到 100% 的范围要大得多。我们怎么能把它设置为 400？」

而你是完全正确的。这被称为饱和，它经常发生在 PID 控制器中。当饱和发生时，控制变量只需要将输出设置为其最大值，即 100%。

随着测量的温度接近目标值，误差越来越小，最终系统变得不饱和。在我们的例子中，系统将在90 度时成为不饱和状态。在 95 度时，误差将是 5，系统的输出将是 $(100-95) \times 10=50%$。

使用纯比例控制器的问题是，它通常会产生一个稳态误差。随着误差越来越小，误差乘以比例系数的结果最终变得太小，无法对过程变量产生任何影响。这是因为现实世界中的系统从来没有100%的效率。而这正是算法的 $I$ 部分发挥作用的地方。

Integral 积分

$I$ 代表积分，这是一个数学术语。简单来说意味着随着时间的推移积累一些东西^[1]。

在 PID 的情况下，$I$ 部分积累了随时间发生的误差。累积的误差再乘以积分系数 $K_i$，然后加到输出中。

一个只利用P和I组件的控制器算法可以用以下伪代码表示。

accumulation_of_error += error * delta_time
output = (error * Kp) + (accumulation_of_error * Ki)

控制算法的积分部分可以消除系统中的任何稳态误差，因为它随着时间的推移积累该误差并对其进行补偿，而不是只看某一时刻的误差的瞬时快照。

Derivative 导数

$D$ 代表导数，可能是最复杂的。

导数部分在控制器中使用的频率较低，但在某些应用中仍然很重要。

对于一壶水放在燃烧器上不被打扰的情况，$D$ 完全没有必要。然而，如果我们偶尔往锅里倒几块冰，使事情变得复杂，那么它就会有帮助。

导数部分负责对误差的突然变化进行补偿。 如果我们把冰块倒入我们的水壶中，温度会突然下降，误差会突然增加，算法的导数部分会启动并增加燃烧器的输出。

导数是一个数学术语，意味着 “一条曲线的斜率”。在这种情况下，该曲线是误差随时间变化的曲线。

如果误差是稳态的，那么 $D$ 部分的结果就是零。

一个完整的 PID 算法可以用下面的伪代码表示。

accumulation_of_error += error * delta_time
derivative_of_error = (error - last_error) / delta_time
last_error = error
output = (error * Kp) + (accumulation_of_error * Ki) + (derivative_of_error * Kd)

当系统已经处于或接近稳态时，导数部分大多有用。

在稳定状态下，$P$ 和 $I$ 分量都非常小，因为误差非常小。如果误差突然增加，需要一段时间后 $P$ 和 $I$ 分量才会再次开始起作用。

然而，$D$ 分量对误差的突然变化作出反应，并立即开始补偿。

由于这个原因，人们常说 $D$ 负责补偿未来的误差；它看到了误差的变化，并试图阻止它发生更大的变化。

由于导数部分对误差的变化做出反应，在测量的过程变量是有噪声的情况下，它可能会出现问题。当控制算法中使用 $D$ 部分时，这种噪声会导致输出不稳定。

PID控制器的调整

调整 PID 控制器的过程是确定 $K_p$、$K_i$ 和 $K_d$ 的理想值，以达到预期的响应。在一些系统中，你可能希望控制变量尽可能快地达到设定点，即使这意味着对设定点的超标。在其他情况下，对设定点的超调可能是不可接受的。

所有这些都可以通过仔细调整调谐系数来控制。调谐过程超出了本篇文章的范围，但请注意我的下一篇文章，我将给出一个调谐自制温度控制器的实际例子。